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참고문헌

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집합, 관계, 함수: 구조의 언어​

  1. Halmos, P. R. Naive Set Theory. Springer, 1974. — 집합, 원소 관계, 순서쌍, 관계, 함수의 고전적이고 친절한 기초. 관계를 순서쌍의 집합으로, 함수를 일가(single-valued) 관계로 정의하는 이 장의 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]
  2. Enderton, H. B. Elements of Set Theory. Academic Press, 1977. — 순서쌍, 데카르트 곱, 관계, 함수에 대한 엄밀한 서술로, 이 장에서 사용하는 집합론적 정의의 토대. [근거 등급: 표준 교재.]
  3. Rosen, K. H. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed., McGraw-Hill, 2019. — 관계의 성질(반사성·대칭성·추이성), 관계 합성, 추이 폐포에 대한 표준 학부 교재. [근거 등급: 표준 교재.]

순서와 격자: 사물에 서열이 있을 때​

  1. Davey, B. A., and Priestley, H. A. Introduction to Lattices and Order. 2nd ed., Cambridge University Press, 2002. — 부분 순서, 하세 다이어그램, 이음(join)과 만남(meet), 격자에 대한 표준 참고서. 세 가지 순서 법칙, 최소 상계로서의 최소 공통 포섭자(least common subsumer), (유계) 격자의 정의를 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]
  2. Birkhoff, G. Lattice Theory. 3rd ed., American Mathematical Society, 1967. — 격자 이론의 기초 논저. 유계 격자, 최상위·최하위 원소, 완비성의 형식적 개념을 뒷받침한다. [근거 등급: 기초 논저.]
  3. Ganter, B., and Wille, R. Formal Concept Analysis: Mathematical Foundations. Springer, 1999. — 부분 순서에서 지식 계층으로 이어지는 다리로서의 개념 격자. 이음이 최소 공통 포섭자라는 주장과 박스 포함 순서로의 전개를 뒷받침한다. [근거 등급: 동료 심사 논저.]

명제 논리: 참, 거짓, 그리고 귀결​

  1. Huth, M., and Ryan, M. Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning about Systems. 2nd ed., Cambridge University Press, 2004. — 전산학자를 위한 명제·술어 논리. 논리 결합자, 진리표 의미론, 타당성/충족가능성의 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]
  2. Enderton, H. B. A Mathematical Introduction to Logic. 2nd ed., Academic Press, 2001. — 명제 논리의 엄밀한 의미론. 배정, 모델, 충족가능성, 타당성의 모델론적 개념과 복잡도 언급(SAT, 모델 계수)을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]
  3. Russell, S., and Norvig, P. Artificial Intelligence: A Modern Approach. 4th ed., Pearson, 2021, 7장. — AI에서의 명제 논리, 함의, 혼 절(Horn clause), 전방 연쇄. 즉시 귀결 연산자와 "함의 = 부정의 충족불가능성" 항등식을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]

1차 논리: 객체, 관계, 한정사​

  1. Enderton, H. B. A Mathematical Introduction to Logic. 2nd ed., Academic Press, 2001. — 1차 논리의 구문, 구조, 충족에 대한 표준적이고 엄밀한 서술. 구조의 정의, 한정사에 대한 충족 관계, 1차 타당성의 결정 불가능성을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]
  2. Russell, S., and Norvig, P. Artificial Intelligence: A Modern Approach. 4th ed., Pearson, 2021, 8–9장. — AI를 위한 1차 논리와 추론. 항, 술어, 한정사의 구문과 AI에서 1차 지식의 역할을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]
  3. Abiteboul, S., Hull, R., and Vianu, V. Foundations of Databases. Addison-Wesley, 1995. — 결합 질의와 질의에서의 중심적 역할. 존재-결합 조각을 데이터베이스 질의와 동일시하는 서술과 제4권의 복합 질의 응답으로의 전개를 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]

추론과 증명: 사실을 엮어 결론으로​

  1. Russell, S., and Norvig, P. Artificial Intelligence: A Modern Approach. 4th ed., Pearson, 2021, 9장. — 추론, 전방·후방 연쇄, 건전성/완전성. 전건 긍정법, 데이터 주도 대 목표 주도 증명 방향, 그리고 혼 절에 대한 전방 연쇄의 건전성과 완전성이라는 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]
  2. Ceri, S., Gottlob, G., and Tanca, L. Logic Programming and Databases. Springer, 1990. — 데이터로그(Datalog), 즉각귀결 연산자, 최소 모델 의미론. 이 장의 T_P 정의, 최소 고정점, 그리고 그것이 최소 허브랜드 모델과 동일하다는 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]
  3. Abiteboul, S., Hull, R., and Vianu, V. Foundations of Databases. Addison-Wesley, 1995. — 데이터로그 평가 이론, 최소 고정점, 그 정확성. 고정점 반복이 함의되는 접지 원자만을 정확히 도출한다는 완전성 논증을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]

리졸루션과 SLD: 기계가 증명하는 법​

  1. Lloyd, J. W. Foundations of Logic Programming. 2nd ed., Springer, 1987. — 치환, 단일화, SLD 리졸루션 증명 절차에 대한 표준적이고 엄밀한 서술. 변수-항 치환을 찾는 것으로서의 단일화, 분리 표준화 원칙, 목표 지향적 탐색으로서의 후방 연쇄에 대한 이 장의 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]
  2. Robinson, J. A. "A Machine-Oriented Logic Based on the Resolution Principle." Journal of the ACM, vol. 12, no. 1, 1965, pp. 23–41. — 리졸루션 추론 규칙과 그 엔진인 단일화를 처음 소개한 논문. SLD를 정의절(혼 절)에 대한 일반 리졸루션의 특수화로 보는 이 장의 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 기초 논문.]
  3. Sterling, L., and Shapiro, E. The Art of Prolog: Advanced Programming Techniques. 2nd ed., MIT Press, 1994. — 프롤로그(Prolog)와 SLD 리졸루션에 대한 고전적인 실습 중심 서술. 목표 지향적 증명, 증명 트리, 그리고 프롤로그 배후의 메커니즘으로서의 질의 응답에 대한 이 장의 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]

고정점: 극한에 도달하는 추론​

  1. Tarski, A. "A Lattice-Theoretical Fixpoint Theorem and Its Applications." Pacific Journal of Mathematics, vol. 5, no. 2, 1955, pp. 285–309. — 완비 격자 위의 모든 순서 보존(단조) 사상이 고정점들로 이루어진 완비 격자를, 특히 그 가운데 최소 고정점을 갖는다는 것을 증명한 논문. 이 장의 크나스터–타르스키 정리와, lfp(F)의 존재를 비구성적 보장으로 다루는 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 기초 논문.]
  2. Davey, B. A., and Priestley, H. A. Introduction to Lattices and Order. 2nd ed., Cambridge University Press, 2002. — 완비 격자, 단조·연속 사상, 고정점 정리. 상승 사슬의 최소상계로서 최소 고정점에 도달하는 이 장의 구성적인 클레이니 오름과, 그 오름이 종료되는 유한성/연속성 조건에 대한 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]
  3. Ceri, S., Gottlob, G., and Tanca, L. Logic Programming and Databases. Springer, 1990. — 데이터로그, 즉각귀결 연산자, 최소 모델 의미론. 이 장의 T_P 정의, 최소 고정점, 그리고 그것이 최소 허브랜드 모델과 동일하다는 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]
  4. Abiteboul, S., Hull, R., and Vianu, V. Foundations of Databases. Addison-Wesley, 1995. — 데이터로그 평가 이론, 최소 고정점, 그 정확성. 데이터로그 평가가 최소 고정점 반복과 동일하다는 것과, 진짜 재귀의 교과서적 사례로서의 추이 폐쇄에 대한 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]

학습이란 무엇인가: 데이터에 함수 맞추기​

  1. Hastie, T., Tibshirani, R., and Friedman, J. The Elements of Statistical Learning. 2nd ed., Springer, 2009. — 지도 학습, 일반화, 모델 적합. 일반화 대 암기, 훈련/테스트 분할, 그리고 유한한 표본으로부터 보지 못한 행동을 추론하는 데 따르는 원칙적 한계에 대한 이 장의 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]
  2. Bishop, C. M. Pattern Recognition and Machine Learning. Springer, 2006. — 선형·로지스틱 회귀, 손실 함수, 최적화에 대한 표준 대학원 교재. 이 장의 모델/손실 프레이밍, 최소제곱 직선 맞추기, 시그모이드와 교차 엔트로피 손실을 갖춘 로지스틱 분류기에 대한 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]
  3. Goodfellow, I., Bengio, Y., and Courville, A. Deep Learning. MIT Press, 2016. — 경사 기반 학습과 기계학습의 기초. 경사 하강 반복문, 학습률, 그리고 지도·비지도·강화 학습을 한 문단으로 정리한 분류 체계에 대한 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]

경사 하강법: 기울기를 따라 학습하기​

  1. MacKay, D. J. C. Information Theory, Inference, and Learning Algorithms. Cambridge University Press, 2003, 39장("The Single Neuron as a Classifier"). — 이 장의 보정 기준(calibration)이 되는 참고문헌. 가중치 공간(weight space) 그림, 시그모이드 활성화, 교차 엔트로피(정보량) 목적 함수, 연쇄 법칙에 의한 기울기 유도, 온라인 및 배치 경사 하강 알고리즘, 학습률 스케줄, 그리고 가중치 감쇠(weight decay)를 통한 정칙화(regularization)를 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]
  2. Robbins, H., and Monro, S. "A Stochastic Approximation Method." Annals of Mathematical Statistics, vol. 22, no. 3, 1951, pp. 400–407. — 확률 근사(stochastic approximation)를 창시한 논문. 확률적 경사 하강(stochastic gradient descent)을 참 기울기의 잡음 섞인 추정으로 다루는 서술과, 수렴에 필요한 점점 줄어드는 걸음 크기 스케줄에 대한 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 기초 논문.]
  3. Goodfellow, I., Bengio, Y., and Courville, A. Deep Learning. MIT Press, 2016, 4장과 8장. — 기계학습을 위한 수치 최적화(numerical optimization). 볼록 대 비볼록(convex versus non-convex)의 구분, 나쁜 조건화(ill-conditioning)에 대한 헤세 행렬(Hessian)과 조건수(condition number) 기반 설명, 미니배치(mini-batch) 추정, 모멘텀(momentum), 그리고 고차원 비볼록 손실에서 안장점(saddle point)이 흔하다는 사실을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]

신경망: 미분 가능한 함수 근사기​

  1. Goodfellow, I., Bengio, Y., and Courville, A. Deep Learning. MIT Press, 2016. — 딥러닝에 대한 표준 대학원 교재. 뉴런, 시그모이드를 비롯한 활성화 함수, 다층 퍼셉트론, 경사 기반 훈련에 대한 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]
  2. Rumelhart, D. E., Hinton, G. E., and Williams, R. J. "Learning Representations by Back-Propagating Errors." Nature, 1986. — 역전파를 실용적인 훈련 방법으로 확립한 논문. 이 장의 연쇄 법칙 기울기 계산과, 오차 전파를 통한 다층 퍼셉트론 훈련에 대한 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 기초 논문.]
  3. Cybenko, G. "Approximation by Superpositions of a Sigmoidal Function." Mathematics of Control, Signals and Systems, 1989. — 시그모이드 네트워크에 대한 보편 근사 정리. 하나의 은닉층이 유계 영역 위의 어떤 연속 함수든 근사할 수 있다는 이 장의 한 문장짜리 주장을 뒷받침한다. [근거 등급: 동료 심사 논문.]

임베딩: 기하학으로서의 의미​

  1. Hinton, G. E., McClelland, J. L., and Rumelhart, D. E. "Distributed Representations." In Parallel Distributed Processing: Explorations in the Microstructure of Cognition, Vol. 1, MIT Press, 1986. — 분산 표현을 창시한 서술. 기호의 의미란 하나의 슬롯에 담긴 깃발이 아니라 모든 좌표에 걸쳐 퍼진 패턴이며, 그래서 가까운 패턴이 비슷한 것을 의미한다는 이 장의 주장을 뒷받침한다. [근거 등급: 기초 저작의 장.]
  2. Bordes, A., Usunier, N., Garcia-Duran, A., Weston, J., and Yakhnenko, O. "Translating Embeddings for Modeling Multi-relational Data." Advances in Neural Information Processing Systems (NeurIPS), 2013. — TransE 논문. 관계를 이동으로 보는 이 장의 모델, h + r ≈ t 스코어링, 손상된 트리플에 대한 마진 랭킹 훈련, 그리고 개체 벡터를 단위 노름으로 매 에포크 재정규화하는 절차에 대한 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 기초 논문.]
  3. Wang, Q., Mao, Z., Wang, B., and Guo, L. "Knowledge Graph Embedding: A Survey of Approaches and Applications." IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, 29(12), 2017. — 지식 그래프 임베딩 기법들에 대한 폭넓은 서베이. 그러한 임베딩이 링크 예측과 지식베이스 완성의 주력 도구가 되었다는 것과, 그것이 제공하는 열린 세계 일반화에 대한 이 장의 주장을 뒷받침한다. [근거 등급: 동료 심사 서베이 논문.]

두 문화: 기호 대 벡터​

  1. Newell, A., and Simon, H. A. "Computer Science as Empirical Inquiry: Symbols and Search." Communications of the ACM, vol. 19, no. 3, 1976, pp. 113–126. — 물리적 기호 시스템 가설을 천명한 ACM 튜링상 강연. 물리적 기호 시스템이 "일반 지능적 행동을 위한 필요충분한 수단을 갖추고 있다"는 이 장의 주장과, 2부의 전방·후방 연쇄 엔진을 축소판 기호 시스템으로 읽어 내는 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 기초 논문.]
  2. Rumelhart, D. E., McClelland, J. L., and the PDP Research Group. Parallel Distributed Processing: Explorations in the Microstructure of Cognition. 2 vols., MIT Press, 1986. — 커넥셔니즘의 창시를 알린 2권짜리 저작. 지식이 손으로 쓴 규칙이 아니라 수많은 단순 단위들의 연결 가중치 전반에 분산되어 있다고 보는 커넥셔니스트 프로그램에 대한 이 장의 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 기초 논저.]
  3. Garcez, A. d'Avila, and Lamb, L. C. "Neurosymbolic AI: The 3rd Wave." Artificial Intelligence Review, vol. 56, 2023, pp. 12387–12406. — 신경-기호 AI를 이 분야의 "제3의 물결"로 규정하는 서베이. 기호주의와 커넥셔니즘 전통의 자연스러운 해소가 증명기처럼 추론하면서 동시에 학습된 기하학처럼 일반화하는 시스템이라는 이 장의 논지를 뒷받침한다. [근거 등급: 동료 심사 서베이 논문.]

카우츠 분류법: 결합의 여섯 방식​

  1. Kautz, H. "The Third AI Summer." AAAI Robert S. Engelmore Memorial Lecture; AI Magazine, vol. 43, no. 1, 2022, pp. 105–125. — 신경-기호 시스템의 여섯 범주 분류법을 처음 제시한 기조 강연. 느슨한 파이프라인에서부터 네트워크 안에 통째로 중첩된 추론 엔진에 이르기까지, 이 장이 여섯 가지 결합 방식을 명명하고 순서를 매기는 방식을 뒷받침한다. [근거 등급: 동료 심사 논문.]
  2. Garcez, A. d'Avila, and Lamb, L. C. "Neurosymbolic AI: The 3rd Wave." Artificial Intelligence Review, vol. 56, 2023, pp. 12387–12406. — 이 분야를 체계화한 서베이. 실제 시스템이 분류법의 범주를 흐릿하게 만들며 칸 사이의 경계가 성글다는 이 장의 주장을 뒷받침한다. [근거 등급: 동료 심사 서베이 논문.]
  3. Sarker, M. K., Zhou, L., Eberhart, A., and Hitzler, P. "Neuro-Symbolic Artificial Intelligence: Current Trends." AI Communications, vol. 34, no. 3, 2021, pp. 197–209. — 신경-기호 접근법들의 지도. 결합 스펙트럼 전반에 방법들을 배치하는 이 장의 서술과, 어떤 과제에 어떤 결합이 최선인지는 여전히 열려 있는 경험적 질문이라는 관찰을 뒷받침한다. [근거 등급: 동료 심사 논문.]

관통 예제: 하나의 지식 베이스, 다섯 권​

  1. Hitzler, P., Krötzsch, M., and Rudolph, S. Foundations of Semantic Web Technologies. CRC Press, 2010. — TBox/ABox, 클래스 계층, 온톨로지에 대한 표준 교재. 규칙들을 단언된 ABox 위에 놓인 암묵적 용어 박스(terminology box, professor ⊑ researcher ⊑ person)로 읽어 내는 이 장의 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 표준 교재.]
  2. Ren, H., Hu, W., and Leskovec, J. "Query2box: Reasoning over Knowledge Graphs in Vector Space Using Box Embeddings." ICLR, 2020. — 다중 홉 존재 긍정 1차(EPFO) 질의에 벡터 공간에서 직접 답한다. 이 장의 다중 홉 질의 프레이밍과, 4권이 미리 보여주는 미분 가능한 복합 질의 응답에 대한 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 동료 심사 학회 논문.]
  3. Hogan, A., et al. "Knowledge Graphs." ACM Computing Surveys, 2021. — 지식 그래프와 그 스키마, 그 위에서의 추론에 대한 포괄적인 서베이. 노드-엣지로 이루어진 지식 그래프의 형태가 모든 렌즈가 함께 읽어 내는 공유된 기층이라는 이 장의 주장을 뒷받침한다. [근거 등급: 동료 심사 서베이 논문.]

솔직한 평결: 기초가 주는 것​

  1. Kautz, H. "The Third AI Summer." AI Magazine, vol. 43, no. 1, 2022, pp. 105–125. — 신경-기호 프로그램과 그 전망의 틀을 세운 기조 강연. 신경-기호 AI를 신경 학습과 기호적 추론을 결합하는 프로젝트로 명명하는 이 장의 서술을 뒷받침한다. [근거 등급: 동료 심사 논문.]
  2. Garcez, A. d'Avila, and Lamb, L. C. "Neurosymbolic AI: The 3rd Wave." Artificial Intelligence Review, vol. 56, 2023, pp. 12387–12406. — 두 전통을 결합하는 것의 현황과 쟁점에 대한 서베이. 두 절반이 상호 보완적이며 그 간극을 좁히는 것이 이 분야의 핵심 과제라는 이 장의 주장을 뒷받침한다. [근거 등급: 동료 심사 서베이 논문.]
  3. Marcus, G. "The Next Decade in AI: Four Steps Towards Robust Artificial Intelligence." arXiv:2002.06177, 2020. — 강건한 AI는 학습과 기호 양쪽 모두를 필요로 한다는 논증. 정확함 대 강건함, 설명 가능함 대 불투명함, 완전함 대 확장 가능함이라는 이 장의 긴장 구도를 뒷받침한다. [근거 등급: 프리프린트.]